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  小学五年级奥数知识点：长方体和正方体

  专题简析

  在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：

  1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;

  2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;

  3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

  例题1 一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位：厘米)

分析 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米)，右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米)，整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);

  (2)求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。

  想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗?

  练习一

  1，一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后(如图)，剩下部分的表面积和体积各是多少?

  2，把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

  3，有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体(如图)，求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?

  例题2 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔(如图)，你能算出它的体积和表面积吗?(单位：厘米)

  分析 (1)先求出长方体的体积，8×5×6=240(立方厘米)，由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米)，这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);

  (2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米)，但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。

  小升初奥数必备知识点

  1、年龄问题的三大特征

  ①两个人的年龄差是不变的;

  ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

  ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

  2、鸡兔同笼问题

  基本概念：

  鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;

  基本思路：

  ①采用假设法，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：

  ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;

  ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;

  ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

  基本公式：

  ①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

  ②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)

  关键问题：找出总量的差与单位量的差。

  3、植树问题总结

  基本类型：

  在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树。

  4、牛吃草问题

  基本思路：

  假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

  基本公式：

  生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);

  总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;

  基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;

  关键问题：确定两个不变的量。

  5、平均数问题

  基本公式：

  ①平均数=总数量÷总份数

  总数量=平均数×总份数

  总份数=总数量÷平均数

  ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

  基本算法：

  算出总数量以及总份数，利用基本公式①或②进行计算。

  (基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②)

  6、盈亏问题

  基本概念：

  一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果。按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。

  基本思路：

  先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。

  基本题型：

  ①一次有余数，另一次不足;

  基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差

  ②当两次都有余数;

  基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差

  ③当两次都不足;

  基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差

  基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

  关键问题：确定对象总量和总的组数。

  7、周期循环与数表规律

  周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

  周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

  关键问题：确定循环周期。

  闰年：一年有366天

  ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;

  平年：一年有365天

  ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;

  8、抽屉原理

  抽屉原则一：

  如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

  例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

  观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

  抽屉原则二：

  如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

  ①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。

  ②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

  理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

  例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

  关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

  9、加法乘法原理和几何计数

  加法原理：

  如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2....... +mn种不同的方法。

  关键问题：确定工作的分类方法。

  基本特征：每一种方法都可完成任务。

  乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。

  关键问题：确定工作的完成步骤。

  基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

  直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

  特点：没有端点，没有长度。

  线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

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