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  小升初奥数知识点：余数、同余与周期

  一、同余的定义：

  ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

  ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

  二、同余的性质：

  二、同余的性质：

  ①自身性：a≡a(mod m);

  ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);

  ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);

  ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);

  ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);

  ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);

  ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);

  三、关于乘方的预备知识：

  ①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b

  ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

  四、被3、9、11除后的余数特征

  ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);

  ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

  五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

  余数及其应用

  基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

  余数的性质：

  ①余数小于除数。

  ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

  ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

  ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

  小升初奥数知识点：完全平方数

  完全平方数特征：

  1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

  2. 除以3余0或余1;反之不成立。

  3. 除以4余0或余1;反之不成立。

  4. 约数个数为奇数;反之成立。

  5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。

  6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。

  7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

  平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

  完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

  完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2